«La esencia de las matemáticas es la libertad» - Georg Cantor

Un número primo es un entero natural que admite solo dos divisores distintos enteros y positivos: el 1 y sí mismo.

Según esta definición, el 0 y el 1 no son números primos, ya que el 0 es divisible por todos los enteros positivos y el 1 solo es divisible por un entero positivo. Algunos matemáticos admitieron el 1 como número primo, pero esta teoría fue abandonada a principios del siglo XX. La definición del número primo es la opuesta a la del número compuesto, que es un número entero que tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo.

El 23 % de los estudiantes de secundaria tienen dificultades en matemáticas. Las clases particulares y una pizca de curiosidad pueden remediarlo. Puede que sea por curiosidad que te hayas encontrado con este artículo, así que quédate. Vamos a hablar sobre los números primos y a aprender a encontrarlos.

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¿Cómo saber si un número es un número primo?

Definición número primo
Cuando resuelves un problema tres veces y te salen resultados distintos.

La noción de número primo es uno de los fundamentos básicos de la aritmética y se estudia desde primaria.

Hay muchas aplicaciones industriales de aritmética y especialmente de los números primos. Así, a lo largo de tu vida, dependiendo de tu profesión, te enfrentarás más o menos a menudo con este concepto matemático.

¿Cuáles son los números primos?

Esta pregunta no tiene una respuesta cerrada, ya que no hay una lista exhaustiva finita de números primos. Sabemos que hay una infinidad de ellos desde la antigüedad gracias al teorema de Euclides sobre los números primos.

Sin embargo, es posible conocer los números primos delimitando una apertura y un cierre. De 0 a 100, por ejemplo, los números primos son 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Puedes memorizar esta lista. Es bastante fácil recordar que hay 25 números primos entre 0 y 100 y luego memorizarlos a largo plazo.

¿Quieres saber más sobre el número e?

El algoritmo por pruebas de división

Los primeros métodos para calcular los números primos se llaman pruebas o test de primalidad y se basan en pruebas de división por todos los números más bajos que la raíz cuadrada del número elegido:

  • Si es divisible por uno de ellos, es compuesto;
  • Si no es divisible por uno de ellos, es primo.

Sin embargo, este algoritmo es largo y tedioso. Muchas divisiones son inútiles, especialmente por 4 si el número no es divisible entre 2.

¿Te interesa conocer también el número 0?

La criba de Eratóstenes

Basada en el método de pruebas de división, la criba de Eratóstenes proporciona la lista de números primos menores que un valor dado.

Si has aprendido este método en el colegio, aquí tienes un recordatorio:

  • Se empieza formando la lista de números enteros de 2 an (120 en el ejemplo);
  • Un número es primo si es el primer número de la lista que no está tachado (spoiler alert:el primero es siempre 2);
  • Luego tienes que tachar todos los enteros múltiples del número 2, comenzando con su cuadrado;
  • Repite los pasos hasta que busques múltiplos de números mayores que la raíz cuadrada den, (aquí 120).

La raíz cuadrada de 120 es aproximadamente 10,9.

Y como una imagen vale más que mil palabras, aquí tienes los números primos del 2 a 120:

criba de Eratóstenes
Aquí tienes una demostración para saber si un número es primo del 2 a 120.

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

Otros algoritmos para encontrar un número primo

Existen otras posibilidades para reconocer un número primo, empezando por una variante de la criba de Eratóstenes, llamada criba de Sundaram.

La criba de Sundaram consiste en listar todos los enteros naturales impares compuestos a través de secuencias aritméticas colocadas en columnas. Por complementariedad, es posible deducir los números primos.

Pero hay otros métodos:

  • La criba general de los campos numéricos,
  • La prueba de primalidad de Solovay-Strassen,
  • La prueba de primalidad de Miller-Rabin,
  • El algoritmo AKS,
  • Los primos de Proth,
  • Los primos de Woodall,
  • Los primos de Cullen...

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Los números primos particulares

Números primos especiales
Hay 10 números primos en un mes de 30 días y 11 en un mes de 31 días.

Hay números primos particulares, definidos por restricciones particulares.

Los números primos de Pitágoras

A veces los números primos de la fórmula 4n + 1 (con n, entero natural) son llamados números primos de Pitágoras. Por ejemplo, el 5 se llama de Pitágoras.

Se dice que un número primo impar es de Pitágoras si es la suma de dos cuadrados.

Los números primos de Mersenne

Los números primos de esta fórmula donde p es un entero natural se llaman números primos de Mersenne.

Hoy en día, se conocen 50 números primos de Mersenne, pero se siguen buscando más con la ayuda de la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer.

El último conocido fue descubierto en enero de 2018. ¿Quizás encuentres tú el siguiente?

Los números primos de Fermat

Los números de la fórmula   se consideran números de Fermat.

Sin embargo, F5 solo se considera semi-primo, ya que es divisible por 641. Los investigadores continúan buscando otro número de Fermat.

Números primos gemelos

Si dos números primos solo se diferencian por 2, entonces se les llama gemelos.

Por ejemplo, 3 y 5 son gemelos, 5 y 7 son gemelos, y 11 y 13 son gemelos, pero hay infinitos números primos gemelos.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

¿Para qué sirven los números primos?

Utilidades de los números primos
Los números primos sirven para cifrar una firma electrónica, por ejemplo.

Conocer los números primos tiene muchas utilidades. Por ejemplo, en un cálculo fraccionario, la descomposición en factores primos facilita la tarea y puede ayudar a simplificar una fórmula matemática.

Los números primos se han visto como un tema puramente matemático. Pero esto cambió en la década de los 70 con la llegada de nuevos sistemas de criptografía. Hasta entonces, la criptografía se basaba en la misma clave para cifrar y descifrar un mensaje, lo cual se llamó criptografía simétrica.

A finales de los 70, se desarrolla un sistema de criptografía asimétrica gracias a las propiedades de los números primos y la factorización. Así, se usan dos claves: una para cifrar y otra para descifrar.

Se usa el producto de dos enteros grandes (200 dígitos) para la clave que cifra. Y para calcular la clave de descifrado, hay que conocer sus dos factores primos. Este es el sistema que se sigue usando hoy en día para crear firmas digitales.

Los números primos han permitido resolver problemas aritméticos como el teorema de los dos cuadrados, el teorema de los cuatro cuadrados o la ley de reciprocidad cuadrática.

Además, los encontramos en los enteros de Gauss y los enteros de Eisenstein.

¿Conoces el número áureo?

Los números primos todavía están rodeados de misterio

Aunque en primaria y secundaria, nos centramos en las fracciones, las ecuaciones, los logaritmos, los números racionales o la división euclidiana, los matemáticos no han terminado con los números primos y aún surgen preguntas:

  • Los problemas Landau:
    • La conjetura de Goldbach,
    • La conjetura delos números primos gemelos,
    • La conjetura de Legendre.
  • La existencia de una infinidad de números primos de la fórmulan2 + 1;
  • La existencia de una infinidad denúmeros primos de Sophie Germain;
  • Laconjetura de Polignac;
  • La hipótesis H de Schinzel;
  • Laconjetura de Bateman-Horn;
  • No sabemos si hay una infinidad de números primosde Fermat o de Mersenne o de Fibonacci;
  • Tampoco se sabe si hay una infinidad denúmeros primos factoriales;
  • Una conjetura deDaniel Shanks: la conjetura indica que todos los números primos aparecen en la secuencia de Euclid-Mullin;
  • La espiral deUlam (o el reloj de Ulam) aún no está completamente explicado.

Lee también nuestro artículo sobre los números perfectos.

¿Cómo memorizar los números primos?

Cómo memorizar los números primos
Bueno, ¡las matemáticas no están hechas para todo el mundo!

Las técnicas mencionadas aquí pueden usarse para memorizar cualquier número real. Se ha reconocido que, para retener una serie de cifras, por ejemplo, los primeros 25 números primos, tienes que atraer a tus sentidos y usar tus emociones.

Por ejemplo, si tienes una memoria visual, puedes asociar números con objetos o personajes:

  • Al 0 con un círculo;
  • Al 1 con un lápiz, un palo;
  • Al 2 con un cisne;
  • Al 3 con un caballito de mar o un camello;
  • Al 4 con un velero;
  • Al 5 con una serpiente, una S o un gancho;
  • Al 6 con un caracol;
  • Al 7 con un acantilado visto de lado;
  • Al 8 con un reloj de arena;
  • Al 9 con un globo colgando de un hilo.

Da rienda suelta a tu imaginación creando historias a partir de objetos.

Más complicado, pero concebible si logras memorizar palabras mejor que los números, es posible asociar una palabra con cada número del 0 al 100 y luego hacer oraciones con estas palabras.

Pero entre nosotros, es mejor aprender a encontrar los números primos que tratar de memorizarlos, excepto si quieres impresionar a tus amigos y familiares.

¿Sabías las fórmulas para encontrar rápidamente los números primos?

 

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