«Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida» - John Von Neumann

Si formas parte de las personas que nunca han entendido las matemáticas, esta cita debe parecer complicada de admitir...

Las matemáticas han existido desde el principio de los tiempos, si creemos en el descubrimiento del hueso de Ishango (más de 20 000 años), el cual puede ser la primera prueba del conocimiento de los primeros números primos y la multiplicación, pero el tema sigue siendo controvertido.

Si bien las matemáticas siguen siendo un misterio para muchos de nosotros, algunos las ven como una excelente manera de entender y analizar nuestro mundo. En este artículo, descubrirás qué es un número perfecto y para qué sirve (alerta de spoiler: ¡no te permitirá mejorar tu vida diaria!).

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¿Cuál es el uso de los números perfectos?

Usos de los números perfectos
«Es algún tipo de lenguaje élfico; no sé leerlo».

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

La historia de los números perfectos

Los números perfectos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.

René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el matemático suizo Leonhard Euler fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los números perfectos pares.

Los primeros cuatro números perfectos se conocen desde la antigüedad. Se encuentran en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto número perfecto se menciona en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron encontrados por Cataldi en el siglo XVI y el octavo en 1772 por Euler.

Así, a principios de la década de los 50, conocíamos 12 números perfectos, pero después la búsqueda se aceleró a través de técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en la década de los 90 a través del GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

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Pero ¿para qué sirven los números perfectos?

Si los números primos son reconocidos como la base misma de la aritmética por muchos matemáticos, los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.

Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)

Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad.

Las conjeturas en relación a los números perfectos son numerosas. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí tienes tres:

  • Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
  • Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
  • Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.

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La prueba de los teoremas de los números perfectos

Teoremas de los números perfectos
La llegada de los ordenadores facilitó la búsqueda de los números primos y perfectos.

El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 n - 1; si Mn es primo, entonces n es primo.

Para establecer que cuando 2 n - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación si n es compuesto, entonces 2 n - 1 también es compuesto.

Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad xk - 1 = (x - 1) (x k-1 + x k-2 + · · · + x + 1) en la que x = 2a y k = b.

Entonces 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + · · · +2a + 1), que muestra que 2n -1 = 2ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).

El teorema de Euclides: si Mn es primo, entonces 2n-1 Mn es un numero perfecto.

Admitimos la función σ(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un numero perfecto k se caracteriza por σ(k) = 2k.

La función σ tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b).

Por otra parte:

  • como Mn es primo, tenemos σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n- 1) = 2n;
  • σ (2n-1) = 1 + 2 + 22+ 23 + · · · + 2n-1 = 2n - 1 = Mn.

Entonces σ(2n-1 Mn) = σ (2n- 1)σ(Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1 Mn).

Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.

¿Cuáles son los números perfectos?

Lista de todos los números perfectos
Uno que intenta encontrar un número perfecto.

Los números perfectos son raros.

Aunque todos los matemáticos están de acuerdo en que existe una infinidad de ellos (nunca se ha demostrado), hoy en día solo conocemos 50, sin siquiera estar seguros de que no haya números intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.

El último número perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo número primo muy grande implica el descubrimiento de un nuevo número perfecto y eso es lo que sucedió con el número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496. Aparentemente, los números perfectos pares terminan en 6 u 8, aunque esto nunca se ha demostrado, pero no de forma alternativa sistemáticamente.

Los números perfectos pares de la fórmula 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números perfectos pares, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos impares. Por ejemplo:

  • 28 = 13+ 33,
  • 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
  • 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

Los primeros ocho números perfectos

Los primeros ocho números perfectos son:

  • 8
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 550.336
  • 589.869.056
  • 438.691.328
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Para conocer los siguientes 40, puedes escribir en Google «lista números perfectos».

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Números impares perfectos

Por el momento, no se sabe si hay números perfectos impares. Todos los ejemplos son números pares, pero eso no significa que no haya un número perfecto impar.

Aunque las investigaciones avanzan, ninguna ha podido afirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha publicado un método heurístico que sugiere la inexistencia de un número perfecto impar.

Un número perfecto impar N debe cumplir las siguientes condiciones (fuente: Wikipedia):

  • N debe tener más de 300 dígitos si existe y ser mayor que 101500
  • N es de la fórmula
    donde:

    • q, p1,..., pkson números primos distintos (Euler),
    • q ≡ α ≡ 1 (módulo 4) (Euler)
    • El factor primo más pequeño de N es menor que (2k + 8)/3,
    • La relación e1≡ e2 ≡... ≡ ek ≡ 1 (módulo 3) no se cumple,
    • qα> 1062 o pj2ej > 1062 por al menos uno j,
    • N es menor que 24k+1
  • si ei≤ 2 para todo i:
    • el divisor primo más pequeño de N es al menos 739,
    • α ≡ 1 (módulo 12) o α ≡ 9 (módulo 12),
  • El divisor primo más grande de N debe ser mayor que 108.
  • El segundo divisor primo más grande de N debe ser mayor que 104y el tercero que 100.
  • N debe tener al menos 101 divisores primos y al menos 10 divisores primos distintos. Si 3 no es un divisor de N, entonces N tiene al menos 12 divisores primos distintos.

Si existen, ningún número perfecto impar es divisible por 105. Además, ningún número de Fermat puede ser perfecto.

¿Conoces el número áureo?

Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos

Números multiperfectos e hiperperfectos
¡Los ejercicios de matemáticas ya son bastante complicados sin añadir los números triperfectos!

Sobre la base de los números perfectos, también hay números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos.

Tranquilo, seguro que tu profesor no te pregunta sobre ellos, pero si quieres saber más, aquí tienes algo de información.

Los números triperfectos

Un número triperfecto es siempre par. Si hay un impar, es mayor que 1050. La suma de los divisores de un número triperfecto, incluido él mismo, es igual a tres veces el número. Por ejemplo, 120 es un número triperfecto porque 23 * 3 * 5 = 120.

Solo conocemos 6 triperfectos:

  • 120
  • 672
  • 776
  • 818.240
  • 476.304.896
  • 001.180.160.

Los números multiperfectos

La suma de los divisores de un número multiperfecto, incluido él mismo, corresponde a k veces el número.

Los matemáticos han descubierto más de 500 números multiperfectos hasta el orden 8 y creen que conocen todos los multiperfectos de orden 3 a 7:

  • 25x 33 x 5 x 7 es el primer tetraperfecto,
  • 27x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, el primer pentaperfecto,
  • El más grande conocido es 7,3 101345

Los números hiperperfectos

Un número hiperperfecto es tal que n = 1 + k (o(n) - n - 1).

Un número 1-hiperperfecto es un número perfecto.

  • Un número 2- hiperperfecto (HP) tiene la fórmula 2o(n) = 3n + 1:
    • 21, 2 133, 19 521, 176 661...
  • Un número 3-HP tiene la fórmula 3o(n) = 4n + 2:
    • 325 y ningún otro hasta n = 1 000 000
  • 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625
  • No hay ningún 5-HP conocido
  • 6- HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

Saber los números perfectos, triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos no te ayudará a hacer los ejercicios de tus clases de matemáticas en secundaria, así que mejor céntrate en las fracciones, la división euclidiana, los logaritmos o el razonamiento en geometría.

Pero si continúas con las matemáticas, quién sabe, tal vez los números perfectos se conviertan en un tema de investigación por tu parte...

Descubre también la historia de los números primos.

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